初中数学教资-高次方程的解法

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高次方程的解法

1.±1判根法
在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于0，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。求出方程的±1的根后，将原高次方程用因式分解法分别除以（x-1）或（x+1） ，降低方程次数后依次求根。注：常数项算在偶次项系数当中。
2.常数项约数求根法
根据定理：“如果整系数多项式 可分解出因式 ，即方程 有有理数根 (P、Q是互质整数)，那么，P一定是首项系数 的约数，Q一定是常数项 约数”。常数项约数求根法有两种类型：第一种类型：首项系数为1。对首项（最高 次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数， 就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解；第 二种类型：首项系数不为1。对首项系数不为1的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号 外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是 而不是Q，因为此时原方程的因式是 ，其余的解法步骤同首项系数为1的解法步骤相同。
3.倒数方程求根法
定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如：
，其中， ， 或者 ， 。
性质1：倒数方程没有零根；
性质2：如果a是方程的根，则 也是方程的根；
性质3：奇数次倒数方程必有一个根是 -1或者1，分解出因式或，降低一个次数后的方程仍是倒数方程。

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【经典例题】

1.求解方程

的实数根。

【答案】，，，。

【解析】原方程化为，显然，上述方程中，两边除以

得。令，则，代入上面方程得，即，即，，。由得，即，，。由得，即，即，，。故原方程的根为，，，。

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2.解方程的实数根。
【答案】
【解析】由题意可知，原方程化为，可得，则，令，，则，化简得，解得，。当时，，则，解得；当时，，，解得，。故原方程的解为